知识大全数列an满足an=(n+1)×1/2^n,求Sn

Posted 2022-07-11 数列

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数列an满足an=(n+1)×1/2^n,求Sn

答：
an=(n+1)/2^n
Sn=a1+a2+a3+…+an
=2/2^1+3/2^2+4/2^3+…+(n+1)/2^n
2Sn=2+3/2^1+4/2^2+…+(n+1)/2(n-1)
2Sn-Sn=Sn=2+(3-2)/2^1+(4-3)/2^2+…+(n+1-n)/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=2+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=1+2(1-1/2^n)-(n+1)/2^n
=3-(n+3)/2^n

数列an满足an=1/n(n+1),记Sn=a1+a2+.+an,求limSn

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
因此Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)
所以lim（n→无穷）Sn=1
这里用的是列项相加法，是已知通项公式求数列前n项和的典型方法，适用于通项公式为分式的情况，然后进行部分分是展开。根据通项公式的不同还有其他求求解数列的部分和

数列an满足an=1/n^2+2n,求Sn

可以采用裂项相消法。
因为 an=1/(n^2+2n)=1/[n(n+2)]=1/2*[1/n-1/(n+2)] ，
所以 Sn=1/2*[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+.......+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=1/2*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=(3n^2+5n)/[4(n+1)(n+2)] 。

已知数列an满足a1=5/6,a(n+1)=1/3an+(1/2)^(n+1),n属于N,数列bn满足bn=a（n+1）-1/2an(n属于N)

(1)bn=a(n+1)-1/2an, b(n+1)=a(n+2)-1/2a(n+1)
so b(n+1)/bn=……
将b(n+1)和bn中的a(n+2) a(n+1)和an全部化为an，可得b(n+1)/bn=1/3，得证
(2)a2=1/3a1+1/4=19/36,b1=a2-1/2a1=1/9,
由（1）知，bn为等比数列，公比为1/3，所以bn的前n项和Sn=b1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=(1/6)*(1-(1/3)^n)
因为bn=a(n+1)-1/2an=-1/6an+(1/2)^(n+1)=b1*(1/3)^(n-1)=(1/3)^(n+1),
所以an=6[(1/2)^(n+1)-(1/3)^(n+1)]

设数列an前n项和为sn，满足a1=1，s（n+1）/a（n+1）-sn/an=1/2^n（n属于n*）

（1）证明：令tn=sn/an （n属于自然数）
由已知a1=1,可知t1=s1/a1=1
由t(n+1)-tn=1/2^n
得t2=3/2
t3=7/4
t4=15/8……所以tn=(2^n-1)/2^(n-1)=2-1/2^(n-1) (n=1时也成立）
因为 tn=sn/an，所以sn=tn*an=(2-1/2^(n-1))*an得证
（2）a(n+1)=s(n+1)-sn=(2-1/2^n)*a(n+1)-(2-1/2^(n-1))*an
整理得（2-1/2^(n-1))*an=(1-1/2^n)*a(n+1)
则a(n+1)/an=(2-1/2^(n-1))/(1-1/2^n))=2
所以数列an为首项为1，公比为2的等比数列，通项公式an=2^(n-1)

数列an满足a1=1/3,Sn=n(2n-1)an,求an

Sn=n(2n-1)an,S(n+1)=(n+1)[2(n+1)-1]a(n+1)
=(n+1)[2n+1]a(n+1)
S(n+1)-Sn=a(n+1)
即(n+1)[2n+1]a(n+1)-n(2n-1)an=a(n+1)
n(2n-1)an=（2n^2+3n）a(n+1)
(2n-1)an=（2n+3）a(n+1)
a(n+1)=(2n-1)/（2n+3）an a2=1/5*1/3=1/15
=(2n-1)/（2n+3）*(2n-3)/（2n+1）a(n-1)
=(2n-1)/（2n+3）*(2n-3)/（2n+1）*(2n-5)/（2n-1）a(n-2)
....
=(2n-1)/（2n+3）*(2n-3)/（2n+1）*(2n-5)/（2n-1）*...*1/5a1
=(2n-1)/（2n+3）*(2n-3)/（2n+1）*(2n-5)/（2n-1）*...*1/5*1/3
=1/[（2n+3）（2n+1）]
an=1/[（2n+1）（2n-1）]

数列an满足a(n+1)-an=1/2,a1=1/2，Sn是数列｛an｝的前n项和，则S10=

因为a(n+1)-an=1/2,所以a2-a1=1/2,a3-a2=1/2......a10-a9=1/2.全式相加，得 a10-a1=9/2, 因为a1=1/2,所以a10=5. S10=(a1+a10)*10/2=55/2 因为a(n+1)-an=1/2,所以a2-a1=1/2,a3-a2=1/2......a10-a9=1/2.全式相加，得 a10-a1=9/2, 因为a1=1/2,所以a10=5. S10=(a1+a10)*10/2=55/2

设数列an满足a1=1 a(n+1)-an=1/2^n(n∈N*)

a(n+1)-an=1/2^n
an-a(n-1)=1/2^(n-1)
an-a(n-1)=1/2^(n-1)
......
a3-a2=1/2^2
a2-a1=1/2^1
以上等式相加得
an-a1=1/2^1+1/2^2+.......+1/2^(n-1)
an-a1=1/2*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
an-1=1-(1/2)^(n-1)
an=2-(1/2)^(n-1)
bn=nan
=n[2-(1/2)^(n-1)]
=2n-n*(1/2)^(n-1)
sn=2*1-1*(1/2)^0+2*2-2*(1/2)^1+.........+2n-n*(1/2)^(n-1)
sn=2*(1+2+....+n-1)-[1*1/2^0+2*1/2^1+.........+n*1/2^(n-1)]
sn=n(n-1)-[1*1/2^0+2*1/2^1+.........+n*1/2^(n-1)]
sn/2=n(n-1)/2-[1*1/2^1+2*1/2^2+.........+n*1/2^n]
sn-sn/2=n(n-1)/2-[1/2^0+1/2^1+1/2^2+.......+1/2^(n-1)-n*1/2^n]
sn/2=n(n-1)/2-[(1-1/2^n)/(1-1/2)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[(1-1/2^n)/(1-1/2)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2*(1-1/2^n)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2-2*1/2^n-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2-(n+2)/2^n]
sn=n(n-1)-4+2(n+2)/2^n
sn=n(n-1)+(n+2)/2^(n-1)-4

数列a(n)满足a1=2,a(n+1)=3a(n)-2(n属于N*）求a(n+1)-1/a(n)-1

因为a(n+1)=3a(n)-2，所以a(n+1)-1=3a(n)-3=3（a(n)-1）
所以a(n+1)-1/a(n)-1=3

数列｛Sn｝满足：a1=1，a2=3/2，a（n+2）=（3/2）a（n+1）-(1/2)an（n属于N*）

（1）由 a（n+2）=（3/2）a（n+1）-(1/2)an 知道：
a(n+2)-a(n+1)=(1/2)a(n+1)-(1/2)an
==> [a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=1/2
==> 即：d(n+1)/dn=1/2
==> ｛dn｝是等比数列
(2) d1=1/2
于是：dn=(1/2)^(n-1)*d1
dn=(1/2)^n
==> an=d(n-1)+d(n-1)+d(n-2)+...+d2+d1
==> an=d1*[1-(1/2)^(n-1)]/[1-(1/2)]
==> an=1-1/2^n

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