知识大全数列1/ n(n+1) 的前n项和Sn=1/(12) +1/(23)+1/(3*4)+.+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式

Posted 2022-07-11 数列

篇首语：青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了知识大全数列1/ n(n+1) 的前n项和Sn=1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4)+.+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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数列1/ n(n+1) 的前n项和Sn=1/(12) +1/(23)+1/(3*4)+....+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式

数列元素 1/ n(n+1) 可以拆为 1/ n - 1/ (n+1)
因此 Sn = (1- 1/2) + (1/2- 1/3) + (1/3- 1/4) + .... + [1/ n - 1/ (n+1)]
= 1 + (1/2 - 1/2) + (1/3 - 1/3) + .... + (1/n - 1/n) - 1/ (n+1)
= 1 - 1/ (n+1)
= n/ (n+1)

⊥122[1/2]数列1/n(n加1)的前n项和Sn=1/1乘2加1/2乘3加1/3乘4加…1/n(n加1),能否找到Sn的一个公式,并...

由于，1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1)。
所以，
Sn=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6)+...+1/(n*(n+1))
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+...+(1/n-1/(n+1))
=1-1/(n+1)。
所以，当n为无穷大时，Sn=1.

已知数列 1/12 ，1/23，1/3*4，…，1/n(n+1),… Sn为其前n项和

S1=1/2
S2=2/3
S3=3/4
Sn=n/(n+1)
证明：
当n=k时，若假设成立，则
Sk=k/(k+1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)
a(k+1)=1/(k+1)(k+2)
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=k/(k+1)+1/(k+1)(k+2)
=1-1/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2)
=1-1/(k+2)
=(k+1)/(k+2)
假设成立

数列an中，a1=1/3,前n项和Sn满足S(n+1)-Sn=（1/3）^(n+1) (n∈N*)

解：
（1）由Sn+1-Sn=（1/3）n+1得 an+1=(1/3)n+1（n∈N*）；
又 a1=1/3
故 an=(1/3)n（n∈N*）
从而
sn=1/3×[1-(13)n]/（1-1/3）=1/2[1-(1/3)n]（n∈N*）．
（2）由（）可得 S1=1/3， S2=4/9， S3=13/27．
从而由S1，t（S1+S2）
3（S2+S3）成等差数列可得：
1/3+3×(4/9+13/27)=2×(1/3+4/9)t
解得t=2．
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数列1/n(n加1)的前n项和Sn=1/1乘2加1/2乘3加1/3乘4加…1/n(n加1),能否找到Sn的一个公式,并对这个问题...

解：Sn=1/(1x2)+1/(2x3)+1/(3x4)+1/(4x5)+1/(5x6)+...+1/(nx(n+1))
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+...+(1/n-1/(n+1))
=1-1/(n+1)，
推广：当n为无穷大时，Sn=1.

数列an中，a1=1/3,前n项和Sn满足S(n+1)_Sn=(1/3)^(n+1)

S(n+1)-Sn=a(n+1)=(1/3)^(n+1)
所以an=(1/3)^n
Sn=1/3+1/3^2+...+1/3^n
=(1/3)(1-1/3^n)/(1-1/3)
=(1-1/3^n)/2
S1=(1-1/3)/2=1/3
t(S1+S2)=t(1/3+4/9)=7t/9
S2+S3=4/9+13/27=25/27
S1,t(S1+S2),(S2+S3)成功等差数列
所以2*(7t/9)=1/3+25/27
解得t=17/21

数列1/12，1/23，1/3*4，，，，，1/(n(n+1))前n项和

an=1/(n(n+1))
=(1/n-1)-(1/(n+1))
然后拆项求和,前后抵消,剩下第一项和最后一项.
下次遇到这种题型都可以用这种方法，如果分子不是1的话可以提取公因式

数列an前n项和Sn，a1=1/6，Sn=n(n+1)an/2 求an及Sn

Sn-Sn-1=n(n+1)an/2-n(n-1)an-1/2
an=n(n+1)an/2-n(n-1)an-1/2
n(n-1)an-1/2=n(n+1)an/2-an
n(n-1)an-1=n(n+1)an-2an
n(n-1)an-1=（n-1)(n+2)an
nan-1=(n+2)an
an-1=(n+2)an/n
an/an-1=n/(n+2)
an=an/an-1*an-1/an-2..........a2/a1*a1=n/(n+2)*(n-1)/(n+1)*(n-2)/n.......a2/a1*a1
an=3*2/(n+2)*(n+1)*a1
通项公式an=6 *a1/(n+2)*(n+1) a1=1/6
Sn=n(n+1)an/2 =n(n+1)*（6 *a1/(n+2)*(n+1)）/2=3na1/n+2

求数列1 1/2,2 1/4,3 1/8,....,(n+1/2^n)的前n项和sn

an=n+1/2^n
Sn=(1+1/2^1)+(2+1/2^2)+(3+1/2^3)+……+(n+1/2^n)
=(1+2+3+……+n)+(1/2^1+1/2^2+1/2^3+……+1/2^n)
=n(n+1)/2+(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)
=n(n+1)/2+1-1/2^n

已知数列an的前n项和Sn=[1/2^n]+[1/2^(n+1)+…+[1/2^2n]，则通项公式an=__________

Sn=[1/2^n]+[1/2^(n+1)+…+[1/2^2n],
即Sn=(1/2^n)x【1+(1/2^1)+(1/2^2)+(1/2^3)+.......+(1/2^n-1)+(1/2^n)】
又因为Sn-1=(1/2^n)x【1+(1/2^1)+(1/2^2)+(1/2^3)+.......+(1/2^n-1)】（注：Sn-1为Sn的前一项）
因为an=Sn-Sn-1=(1/2^n)x【1+(1/2^1)+(1/2^2)+(1/2^3)+.......+(1/2^n-1)+(1/2^n)】—(1/2^n)x【1+(1/2^1)+(1/2^2)+(1/2^3)+.......+(1/2^n-1)】=(1/2^n)x(1/2^n)=(1/2^2n)
所以通项公式an=1/2^2n。本人研究生文聘，肯定做对了。解题很辛苦的。新增为满意答案吧！

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数列1/ n(n+1) 的前n项和Sn=1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式