知识大全已知数列an，an=-2[n-(-1)^n]，求Sn

Posted 2022-07-11 数列

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已知数列an，an=-2[n-(-1)^n]，求Sn

an=-2[n-(-1)^n]
-2*（2 1 4 3 6 5 8 7）
如排除-2 ，则前偶数项和为自然数的和，前奇数n项正好是n-1的自然数列加an
s(n)=-2[1+2+……n-((-1)^1+(-1)^2+……(-1)^n)]
=-2[n(n+1)/2-(-1+1-1+1-1+1……+(-1)^n)]
=-n(n+1)+2(-1+1-1+1-1+1……+(-1)^n)
n为奇数，an=-2(n+1) ，s(n)=s(n-1)+an=-n(n-1)-2(n+1)=-n^2-n-2=-n(n+1)-2
n为偶数，an=-2(n-1) ，s(n)=-n(n+1)
综合为s(n)=-n(n+1)-1+(-1)^n
方法二
令bn=-2n，=-2(-1)^n,则an=bn-
s(bn)=-2[n(n+1)/2]=-n(n+1)
s()=-2[-1+1-1……(-1)^n]=1-(-1)^n
s(an)=s(bn)-s()=-n(n+1)-1+(-1)^n

(1)已知数列的前n项和Sn=n(n+1)，求an (2)已知数列an=n^2-2n+3，求a10

1)
n=1时，an=s1=2
n>1时，an=Sn-S(n-1)=n(n+1)-(n-1)n=2n

2) a10=10²-2x10+3=100-20+3=83

已知数列1,a,a2,…,a^n,…,求Sn

当公比a=1时，Sn=na1=n
当公比a=-1时，
Sn=0 【n为偶数】
Sn=1 【n为奇数】
当公比a≠±1时，则
Sn=a1【1-q^n】/(1-q)
=（1-a^n)/(1-a)

已知数列an=3*2^n-3n+1 求sn

Sn=(3*2^1-3*1+1)+(3*2^2-3*2+1)+(3*2^3-3*3+1)+……+[3*2^(n-1)-3*(n-1)+1]+(3*2^n-3*n+1)①
2Sn=（3*2^2-3*1*2+2）+（3*2^3-3*2*2+2）+（3*2^4-3*3*2+2）+……+[3*2^n-3*(n-1)*2+2]+[3*2^(n+1）-3*n*2+2]②
②-①(错位相减）得Sn=[3*2^（n+1）-3*2^1]-[3*1+3*2+3*3+……3*(n-1)+3*n]+n
=6*(2^n-1)-3*n*(n+1)/2+n

已知数列an中 an=4^n+2n-1,求Sn

Sn=a1+a2+a3.....+an
=(4^1+4^2+4^3+....+4^n)+2(1+2+3+....+n)-(1*n)
=[4(1-4^n)/(1-4)]+2[n(n+1)/2]-n
=n^2-(4/3)-[4^(n+1)]/3
此题也可设bn=4^n;=2n,dn=-1,则an=bn++dn
设bn各项和为Tn,各项和为Un,dn各项和为Vn，则Sn=Tn+Un+Vn

已知数列an，Sn=2n²＋n－1求an

n=1时
a(1)=S(1)=2
n>1时
a(n)=S(n)-S(n-1)
=(2n²＋n－1)-(2(n-1)²＋(n-1)－1)
=2(n²-(n-1)²)＋1
=4n－1

已知数列an=（3n-1）*2^（n-1），求sn

s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n-1)+a(n)=(3*1-1)*1 + (3*2-1)*2 + ... + [3(n-1)-1]*2^(n-2) + (3n-1)*2^(n-1)
2s(n)=(3*1-1)*2 + (3*2-1)*2^2 + ... + [3(n-1)-1]*2^(n-1) + (3n-1)*2^n,
s(n)=2s(n)-s(n)=-(3*1-1)*1 - 3[2 + 2^2 + ... + 2^(n-1)] + (3n-1)*2^n
=-3[1+2+2^2+...+2^(n-1)] + 1 +(3n-1)*2^n
= 1 + (3n-1)*2^n - 3[2^n-1]/(2-1)
= 1 + (3n-1)*2^n - 3*2^n + 3
= 4 + (3n-4)*2^n

已知数列an=2^（n-2）*（3n-1）,求sn

an=（3n-1)*2^n
sn=2*2^1+5*2^2+8*2^3+.+(3n-1)*2^n
2sn=2*2^2+5*2^3+8*2^4+.+(3n-1)*2^(n+1)
sn-2sn=2*2^1+3*2^2+3*2^3+3*2^4+.+3*2^n-(3n-1)*2^(n+1)
-sn=4+12*[1-2^(n-1)]/(1-2)-(3n-1)*2^(n+1)
-sn=4+12*[2^(n-1)-1]-(3n-1)*2^(n+1)
sn=(3n-1)*2^(n+1)-12*[2^(n-1)-1]-4
sn=(3n-1)*2^(n+1)-3*2^(n+1)+8
sn=(3n-4)*2^(n+1)+8

已知数列Sn=n^2+1/2n,求an

解
当n=1时，a1=s1=1+1/2=3/2
当n≥2时
an=sn-s(n-1)
=n²+1/2n-(n-1)²-1/2(n-1)
=n²+1/2n-n²+2n-1-1/2n+1/2
=2n-1/2
当n=1时，a1=2×1-1/2=3/2
∴an=2n-1/2

已知数列An=n(5n-3)/2, n≥1, 求Sn

An=(5n^2-3n)/2
Sn=[5(1^2+2^2+...+n^2)-3(1+2+3+...n)]/2
=[5n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)/2]/2
=5n(n+1)(2n+1)/12-3n(n+1)/4

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