知识大全定义域在[-4,4]上的偶函式f(x)在区间[0,4]上是单调增函式，且f(m)>f(m-1)求

Posted 2022-07-08 区间

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定义域在[-4,4]上的偶函式f(x)在区间[0,4]上是单调增函式，且f(m)>f(m-1)求

偶函式有一个“个性”，也就是特殊的性质：
f(x)=f(|x|); 或f(x)=f(-|x|)
本题是给定了函式在[0,4]上的单调性，因此呼叫f(x)=f(|x|)
f(m)>f(m-1)可化为：
f(|m|)>f(|m-1|)
变数：|m| ,|m-1| 均为非负，都在以定义的单调增区间[0,4]上，所以
f(|m|)>f(|m-1|)<=>
0≤|m|≤4
0≤|m-1|≤4
|m|^2≤|m-1|^2
===>
-4≤m≤4
-3≤m≤5
-2m+1≥0
===>
-4≤m≤4
-3≤m≤5
m≤1/2
==>
-3≤m≤1/2

定义在[-4,4]上的偶函式f(x)在[0,4]上是单调递增函式,f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,求解不等式f(x)+f(x-2)>1

答：
f(x)定义在[-4,4]上的偶函式：f(-x)=f(x)
在[0,4]上单调递增，在[-4,0]上单调递减
f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1=f(-3)
f(x)+f(x-2)>1
f[x(x-2)]>f(3)=f(-3)
所以：
3<|x(x-2)|<=4
所以：
-4<=x(x-2)<-3（无解）或者3<x(x-2)<=4
所以：x^2-2x-3>0并且x^2-2x-4<=0
所以：1-√5<=x<-1或者3<x<=1+√5
因为：-4<=x<=4并且-4<=x-2<=4，即-2<=x<=4
综上所述：1-√5<=x<-1或者3<x<=1+√5

函式f(x)是定义在区间[-4,4]上的偶函式,f(x)在[0,4]上是减函式,求满足f(x-1)＜f(m)成立的m的取值范围

f(x)是先增后减的连续偶函式，因为f(x-1)＜f(m)，所以|m|<x-1|，即－|x-1|<|m|<|x-1|。

设f(x)是偶函式,其定义域为[-4,4],且在[0,4]内是增函式,又f(-3)=0,则f(x)/sinx≤0的解集

因为f(x)是偶函式，所以f(x)关于y轴对称
因为f(-3)=0，所以f(-3)=0
因为f(x)在[0,4]内是增函式
所以f(x)在[-4,0]内是减函式
要求f(x)/sinx≤0
Ⅰ：①f(x)≥0 ②sinx＞0
联解得3≤x＜4
Ⅱ：①f(x)≤0②sinx＜0
联解得-3≤x＜0
综上所述，f(x)/sinx≤0的解集为x|3≤x＜4 or -3≤x＜0

若f(x)是偶函式,定义域为[-4,4],且在[0,4]内是增函式,又f(-3)=0,则f(x)/sinx≤0的解集（）

解答：
f(x)是偶函式，f(-3)=0
∴ f(3)=0
f(x)≥0
即 f(|x|)≥f(3)
∵ f(x)在[0,4]是增函式，
即 |x|≥3
即 3≤|x|≤4
同理，|f(x)|≤0，即 |x|≤3
f(x)/sinx≤0
（1）sinx>0时，f(x)≤0
∴ sinx>0且|x|≤3
∴ 0<x≤3
（2）sinx<0时，f(x)≥0
∴ sinx<0且3≤|x|≤4
∴ π<x≤4或-π<x≤-3
综上，解集是x|0<x≤3或π<x≤4或-π<x≤-3

偶函式f(x)定义在R上,在区间[0,+∞)上是单调增函,如f(lgx)>f(1),求x的范围。

因为f(x)是偶函式，且在[0,+∞)递增，所以f(x)在(-∞,0]递减
另外还有f(1)=f(-1)
f(lgx)>f(1),在[0,+∞)上有lgx>1，x>10，在(-∞,0]上有lgx<lg(-1),x<1/10
又因为lgx有意义，x>0
所以x的取值范围为(0,1/10)∪(10,+∞)

已知函式f x 的定义域为(0,+∞),且fx在定义域上是单调增函式,f(xy)=f（x）+f（y）。

(1)
证明
f(1*1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
f(y*1/y)=f(1)=0=f(y)+f(1/y)
∴-f(y)=f(1/y)
∴f(x*1/y)=f(x/y)=f(x)-f(y)
(2)f（3）=1
f(3)+f(3)=1+1=2
f(9)=2
f（a）＞f（a-1）+2
∴f（a）＞f（a-1）+f(9)
f x 的定义域为(0,+∞),
∴a>0
a-1>0
f（a）＞f（a-1）+f(9)
得到
f(a)>f[9(a-1)]
f(x)是增函式
∴a>9(a-1)
解不等式组
1<a<9/8
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定义域R上的偶函式f(x),在x>0上是增函式,比较f(3)，f(-4),f（-π）的大小

因为f(x)为偶函式
所以影象关于y轴对称
又因为在x>0上为增函式
所以x<0上为减函式
所以在f(3)>f(-π)>f(-4)

利用定义域证明：函式f（x）=－1/x－1在区间（－∞，0）上是单调增函式

证明：设m，n∈（－∞，0）且m < n，以下证明f(m) < f(n)
f(n)－f(m)=(－1/n－1)－(－1/m－1)=1/m－1/n=(n－m)/(mn)
∵m < n ∴ n－m > 0；且m，n∈（－∞，0）∴mn > 0
∴(n－m)/(mn) > 0
即：f(n)－f(m) > 0 ∴f(m) < f(n)
亦即：当m < n，且m，n∈（－∞，0）有f(m) < f(n)
∴函式f（x）=－1/x－1在区间（－∞，0）上是单调增函式。

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