知识大全 y"+(2x/1+x2)y"=2x，求此微分方程的通解

Posted 2022-07-01 方程

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y"+(2x/1+x2)y"=2x，求此微分方程的通解

2、解(1)由不等式的解集X|X<-3?X>-2
有：（x+2）（x+3)>0
即：x²+5x+6>0
即：(-2/5)x²-2x+6×（-5/2)<0
得：k=-2/5

(2)不等式的解集恒<0，
k<0……（1）
判别式：△=4-24k²＜0 ……（2）

求微分方程y"+y\'=2x²+1的通解

r²+r=0
r1=-1 r2=0
Y=C1e^(-x)+C2
y*=x(ax²+bx+c)
y*\'=3ax²+2bx+c
y*\'\'=6ax+2b
y*\'\'+y*\'=2x²+1
6ax+2b+3ax²+2bx+c = 2x²+1
a=2/3
b=-2
c=5
y=C1e^(-x)+C2+x(2x²/3-2x+5)

求微分方程y"-y\'-2y=4e∧2x的通解

1. 齐次通解Y
特征方程r²-r-2=0
(r+1)(r-2)=0
r1=-1,r2=2
Y=C1e^(-x)+C2e^2x
2. 求出1个特解y*
因为λ=2，是一重根
所以
设特解形式为y*=axe^2x
代入解出a即可，自己做
3.通解
y=Y+y*

求微分方程y"+9y=5cos(2x)的通解。

对应齐次方程y′′ + 9 y = 0
特征方程λ^2 + 9 = 0，特征根λ =3i or -3i
齐次方程的通解为y = C1 cos3 x + C2 sin3 x
设y p = Acos2x +Bsin2x
Yp的一阶= -2Asin2x +2Bcos2x
Yp的二阶=-4Acos2x -4Bsin2x
代入原式有5Acos2x+5Bsin2x=5cos2x
A=1B=0
因此解为y = C1 cos3 x + C2 sin3 x+cos2x

常微分方程求y"-4y\'+4y=2e^(2x)√x的通解

y(x) = exp(2*x)*_C2+exp(2*x)*x*_C1+x^2*sqrt(2)*exp(2*x)
很繁琐：
求齐次方程通解，直接求出特征根，即可得到
用待定系数法求原方程的一个特解。
把二者加起来就是原方程的通解。
建议做这种题不要做很多，理解解题方法就行，因为这类题目交给数学软体比较省事。

求微分方程解y"=2x+2y

y\'\'=2x+2y
即 y\'\'-2y=2x
该方程的特征方程为λ²-2=0
所以其特征根为 λ=±√2
所以该方程的一个基本解组为e^(√2x), e^(-√2x)
设方程有如下形式的特解y*=ax
代入原方程得 2a=2
从而 a=1
所以该方程的通解为y=C1e^(√2x)+C2e^(-√2x)+x

求微分方程的通解(1+x^2)y"+(y\')^2+1=0

y\'=p.dp/(1+p^2)+dx/(1+x^2)=0
arctanp+arctanx=arctanc1
y\'=p=tan(arctanc1-arctanx)
=(c1-x)/(1-c1x)=(1/c1)(c1^2-1+1-c1x)/(1-c1x)
y=(-1/c1^2)(c1^2-1)ln|1-c1x|+x/c1+c2

解微分方程：y"-2y\'-3y=2x+1

特征方程解：λ0=3,λ1=-1
令y=Ax+B,代人y"-2y\'-3y=2x+1
-2A-3Ax-3B≡2x+1
A=-2/3,B=1/9
通解为：
y=C1e^3x+C2e^-x-2x/3+1/9,C1,C2为常数

微分方程y"=e∧-x的通解

特征方程为:r-1=0
r=1
通解:y=ce^x
特解(ax+b)e^x
则y\'=ae^x+(ax+b)e^x
ae^x+(ax+b)e^x-(ax+b)e^x=e^x
a+(ax+b)-(ax+b)=1
a=1
通解为:y=c1e^x+(x+C2)e^x=e^x(x+C)

求微分方程y"+2y\'-3y=cosx+(x^2+1)e^x的通解

特征方程为z^2+2z-3=0，特征根为-3, 1, 故对应齐次方程通解为C1*e^x+C2*e^(-3x).
再求特解。先求y"+2y\'-3y=e^(ix)的特解，i不是特征根，故特解设为ae^(ix)，解(i^2+2i-3)a=1得，a=-1/5-i/10，故ae^(ix)的实部为-(cosx)/5+(sinx)/10，这是第一部分的特解。
然后再求y"+2y\'-3y=(x^2+1)e^x的特解，因为e的指数x=1*x，1是其中一个特征根，故特解设为q(x)e^x，其中q(x)=x(ax^2+bx+c)，解q\'\'+(2*1+2)q\'=x^2+1得，q(x)=(x^3)/12-(x^2)16+9x/32.故第二部分特解为[(x^3)/12-(x^2)16+9x/32]e^x。
综上，原方程特解为-(cosx)/5+(sinx)/10+[(x^3)/12-(x^2)16+9x/32]e^x。
故原方程通解为C1*e^x+C2*e^(-3x)-(cosx)/5+(sinx)/10+[(x^3)/12-(x^2)16+9x/32]e^x。