知识大全求一阶微分方程的通解，求过程

Posted 2022-07-01 常数

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求一阶微分方程的通解，求过程

设2e^y-x=u
y=ln(u+x)-ln2
y\'=(u\'+1)/(u+x)
u*(u\'+1)/(u+x)=1
u*du/dx=x
udu=xdx
u=√(x^2+c)
y=ln(√(x^2+c)+x)-ln2
结果经验算正确
然后觉得或许设e^y=u也可以解出答案

求一阶微分方程的通解

MATLAB解
dsolve(\'Dy=-(y-2*x*y-2*x^2)/x^2\',\'x\')
通解为2*x^2+exp(1/x)*x^2*C1

一阶微分方程的通解

直接积分：
x^2/2+x+C1=y-y^2/2
即y^2-2y+x^2+2x+C=0
这是圆

求一阶微分方程的通解并分析解题过程

解法一：（全微分法）
∵y\'=y/(y-x)
==>ydx-(y-x)dy=0
==>(ydx+xdy)-ydy=0
==>∫(ydx+xdy)-∫ydy=0
==>xy-y^2/2=C/2 (C是常数)
==>2xy-y^2=C
∴此方程的通解是2xy-y^2=C。
解法二：（分离变数法）
∵令y=xv，则y\'=xv\'+v。代入原方程，化简得
==>2dx/x=[1/(2-v)-1/v]dv
==>2ln│x│=-ln│2-v│-ln│v│+ln│C│ (C是非零常数)
==>x^2=C/[v(2-v)]
==>x^2=C/[(y/x)(2-y/x)]
==>x^2=Cx^2/[y(2x-y)]
==>y(2x-y)=C
==>2xy-y^2=C
∴此方程的通解是2xy-y^2=C。

一阶微分方程求通解

(xy)\'=x^2+3x+2
xy=x^3/3 + 3x^2/2 +2x +C

一阶微分方程(同求过程)

26.5y\'+3.4y=0
或：y\'+(34/265)y=0
这是一阶微分方程，通解为：
y=Ce^(-34t/265)
t=3.3 时y=5.5代入：
5.5=Ce^(-34*3.3/265) C=5.5e^(34*3.3/265)
y(t)=5.5e^[34(3.3-t)/265)]

求一阶微分方程y\'=e^2x-4y的通解,

y\'=e^(2x-4y)
dy/dx=e^2x/e^4y
e^4ydy=e^2xdx
通解e^4y=2e^2x+C

求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解，高分跪求

解法一：设t=y/x，则y=xt，y\'=xt\'+t
代入原方程得xt\'+t+t=t²
==>xt\'=t²-2t
==>dt/(t²-2t)=dx/x
==>[1/(t-2)-1/t]dt=2dx/x
==>ln│t-2│-ln│t│=2ln│x│+ln│-C│ (C是积分常数)
==>(t-2)/t=-Cx²
==>-2/t=-Cx²-1
==>t=2/(1+Cx²)
==>y/x=2/(1+Cx²)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数)。
解法二：设t=1/y，则y=1/t，y\'=-t\'/t²
代入原方程得-x²t\'/t²+x/t=1/t²
==>t\'=t/x-1/x².........(1)
∵齐次方程t\'=t/x的通解是t=Cx (C是积分常数)
∴设微分方程(1)的解为t=C(x)x (C(x)表示关于x的函式)
∵t\'=C\'(x)x+C(x)
代入(1)得C\'(x)x+C(x)=C(x)-1/x²
==>C\'(x)x=-1/x²
==>C\'(x)=-1/x³
==>C(x)=1/(2x²)+C (C是积分常数)
==>t=[1/(2x²)+C]x=1/(2x)+Cx=(1+Cx²)/(2x)
∴微分方程(1)的通解是t=(1+Cx²)/(2x) (C是积分常数)
==>1/y=(1+Cx²)/(2x)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数)。

求这个一阶微分方程通解

分离变数：
e^x(e^y-1)dx+e^y(e^x+1)dy=0
e^y/(e^y-1) dy+e^x/(e^x+1)dx=0
积分：
ln|e^y-1|=ln(e^x+1)+C1
e^y-1=(e^x+1)^c
得：y=ln[1+(e^x+1)^c]

xy^2dx e^xdy=0求此一阶微分方程的通解

-xy²dx=e^xdy
-xe^(-x)dx=dy/y²
xe^(-x)+e^(-x)=-1/y+C

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