知识大全求一阶微分方程的通解dy/dx=y/2x+x^2/2y

Posted 2022-07-01 方程

篇首语：夫唯不争，故天下莫能与之争。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了知识大全求一阶微分方程的通解dy/dx=y/2x+x^2/2y相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

求一阶微分方程的通解dy/dx=y/2x+x^2/2y

dy/dx=(x^3+y^2)/(2xy)
2xy*dy-(x^3+y^2)*dx=0
方程两边同时乘以积分因子：1/(x^2)，得：
[(2y)/x]*dy-(x+y^2/x^2)*dx=0
d(y^2/x^2-(x^2)/2)=0
方程的通解为：
(y^2)/(x^2)-(x^2)/2=C

求微分方程(x+y/x)dy/dx=-2y 的通解

也可以这样解
(x+y/x)dy=-2ydx
x^2dy+ydy=-2xydx
x^2dy+ydy+2xydx=0
x^2dy+ydx^2+ydy=0
d(x^2y)+d(y^2/2)=0
通解x^2y+y^2/2=C

求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解

dy/dx-y/x=x^2
y=eS1/xdxSx^2(eS-1/xdx)dx+c
y=x(x^2/2+c)
S表示积分符号

解一阶微分方程dy/dx=x/y+cos2x/y,y(0)=1

解：dy/dx=x/y+cos2x/y,
ydy=xdx+cos2xdx
d(1/2y²)=d(1/2x²)+d(1/2sin2x)
两边积分得
1/2y²=1/2x²+1/2sin2x+C
所以 y²=x²+sin2x+C
又y(0)=1
所以1=0+0+C
C=1
所以 y²=x²+sin2x+1

求微分方程 (dy)/(dx)+(y/x)=(a ln x)y^2 的通解

(dy)/(dx)+(y/x)=(a ln x)y^2 除以y^2：
y\'/y^2+(1/xy)=alnx
设1/y=z -y\'/y^2=z\' 代入：
z\'-z/x=-alnx 通解：
z=x(C-∫alnxdx/x)
=x(C-(a/2)ln²x)
即：1/y=x[C-(a/2)ln²x]

微分方程dy/dx=1/(2x+y)的通解

令1/(2x+y)=u
2x+y=1/u
2边对x求导，得
2+dy/dx=-1/u² du/dx
∴-1/u² du/dx-2=u
-1/u²（u+2） du=dx
设-1/u²(u+2)=（Au+B）/u²-A/(u+2)
则2A+B=0
2B-A=-1
得A=1/5，B=-2/5
∫-1/u²（u+2） du=∫dx
∫（1/5u-2/5u²-1/5（u+2））du=C₁
lnu+2/u-ln（u+2）=5C₁=C₂
最后将u=1/(2x+y)代入得通解

求微分方程dy/dx=e^(y/x)+y/x通解

令u=y/x，则dy/dx=u+xdu/dx
所以u+xdu/dx=e^u+u
e^(-u)du=dx/x
-e^(-u)=ln|x|+C
e^(-y/x)=-ln|x|+C
-y/x=ln(-ln|x|+C)
y=-xln(-ln|x|+C)

求微分方程dy/dx=e^y/(2y-xe^y)的通解

2yy\'-xy\'e^y=e^y
2yy\'=(xy\'+1)e^y
(y^2)\'=(xe^y)\'
y^2=xe^y+C

求微分方程dy/dx=2((y+2)/(x+y-1))^2的通解。

令u=x-3,v=y+2,那么x=u+3,y=v-2,dy/dx=d(v-2)/d(u+3)=dv/du
dv/du=2(((v-2)+2)/((u+3)+(v-2)-1))^2=2(v/(u+v))^2
du/dv=(1/2)*(u/v + 1)^2
令z=u/v,u=zv,u\'=z+z\'v
z+z\'v=(1/2)*(z+1)^2
1/(z^2+z+1)dz=(1/2v)dv
(2/√3)/[(2z/√3)+(1/√3)]^2+1 d[(2z/√3)+(1/√3)]=(1/2v)dv
(2/√3)arctan[(2z/√3)+(1/√3)]=(ln|v|)/2+C
(2/√3)arctan[(2u/v√3)+(1/√3)]=(ln|v|)/2+C
(2/√3)arctan[(2(x-3)/√3(y+2))+(1/√3)]=(ln|y+2|)/2+C

求微分方程dy/dx-2y=e∧2x×cos的通解

说明：^——表示次方
y=e^[-∫(-2)dx]∫[e^(2x)cosxe^∫(-2)dx]dx+C
=e^(2x)∫[e^(2x)cosxe^(-2x)]dx+C
=e^(2x)(∫cosxdx+C)
=e^(2x)(sinx+C)

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