知识大全 [1/x]是取整的意思

Posted 2022-04-30 不等式

篇首语：人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了知识大全 [1/x]是取整的意思相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

证明不等式 1-x<x[1/x] 谢谢！[1/x]是取整的意思！

证明：
由取整定义知：1/x-1<[1/x]<=1/x，所以x>0时两边乘以x可知1-x<x[1/x]<1

证明不等式:1/(x+1)<ln(1+x)-ln(x)<1/x (x>0)

证明：令1/x=t x=1/t (t>0)
则等价求证：t/(1+t)<ln(1+1/t)<1/t
设f(t)=t/（1+t）-ln(1+t) t>0
f\'(t)=1/(1+t)²-1/（1+t）=-t/(1+t)²<0
又∵t→0 f(t)=0 f\'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0
∴t/(1+t)-ln(1+t)<0 t/(1+t)<ln(1+t)
同理设f(t)=ln(1+t) -t t>0
f\'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
又∵t→0 f(t)=0 f\'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0 ln(1+t)-t<0
∴ln(1+t)<t
综上 t/(1+t)<ln(1+t)<t
∴x/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x

证明不等式 x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)]，要步骤。谢谢。

显然x的取值范围为(0,1),
如果没有学过拉格朗日中值定理，
可作如下证法：
构造函数f(t)＝t/√(1-t^2)-arcsint,
则f\'(t)＝t^2/[(1-t^2)√(1-t^2)].(求导过程省略）
显然，0<t<1时，f\'(t)>0.
∴f(t)在0<x<1时，单调递增，f(x)>f(0)＝0,
∴x/√(1-x^2)-arcsinx>0,
即arcsinx<x/√(1-x^2).
构造函数g(t)＝arcsint-t,
则0<t<1时，g\'(t)＝1/√(1-t^2)-1>0,
∴g(t)在0<t<1时单调递增，
∴0<x<1时，g(x)>g(0)＝0,
∴arcsinx-x>0,即arcsinx>x.
综上所述，x<arcsinx<x/√(1-x^2)成立。

证明当X>0是有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x

解1：ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx
在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得
ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε 其中 x<ε<x+1
所以1/(x+1)<1/ε<1/x
于是1/(x+1)<ln(1+x)-lnx<1/x原命题得证
解2：构造函数用单调性证明x/(1+x)<ln(1+x)<x成立
然后令x=1/x就得到要证的不等式。过程略，就是简单的构造函数求导。

证明关于[x]的不等式当x>0时1-x<x[1/x]小于等于1

因为(1/x)-1<[1/x]≤1/x，所以...

设0<x<1,是证明不等式x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)],要步骤

用中值定理证明：
记f(x)=arcsinx,f(0)=0.显然f(x)在0<x<1上满足中值定理条件，
于是存在0<x0<x<1,使得f(x)-f(0)=f\'(x0)(x-0)
即arcsinx=[1/(1-x0^2)^(1/2)]x
因为0<x0<x
所以1<[1/(1-x0^2)^(1/2)]<[1/(1-x2)^(1/2)]
则x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)],
命题得证。

证明不等式:1/1+1/(1x2)+1/(1x2x3)+.+1/(1x2x3x.xn)<2

左式<1/1+1/(1x2)+1/(2x3)+1/(3x4)+.....+1/(（n-1）xn)<1+1-1/n<2

不等式1/(x+1)>1/x+1的解集,谢谢

1/(x+1)-1/x-1>0
[x-(x+1)-x(x+1)]/[x(x+1)]>0
[-1-x^2-x]/[x(x+1)]>0
(x^2+x+1)/[x(x+1)]<0
因为恒有x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0
所以有x(x+1)<0
-1<x<0

当x>0时，证明不等式cos x>1-(1/2)x^2

cosx=1-2sin²（x/2）
因为sina＜a，所以sin（x/2）＜（x/2），所以sin²（x/2）＜（x/2）²
于是1-2sin²（x/2）＞1-2（x/2）²=1-（1/2）x²

高数①limx→0[√(x+2)-2]/[√(x-1)-1],√是根号②证明不等式，当x＞1时，2√x＞3-(1/x)要过程谢谢

lim(x→0)[√(x+2)-2]/[√(x-1)-1]
这个题目分母无意义
令y=2√x-[3-(1/x)]=2√x-3+(1/x)
y\'=1/√x-1/x^2=(x^2-x)/x^2=(x-1)/x>0
因此y在x＞1时单增
当x=1时2√x＝3-(1/x)
所以当x＞1时，2√x＞3-(1/x)