R/S分析法简介

Posted 2022-09-27 序列

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R/S分析法简介

R/S分析法通常用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程，最初由英国水文学家赫斯特(Hurst,1951年)在研究尼罗河水坝工程时提出的方法。后来，它被用在各种时间序列的分析之中。

曼德尔布罗特（Mandelbrot）在1972年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，彼得斯（Peters）把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列x_t，把它分为A个长度为N的等长子区间，对于每一个子区间，设：

(1)

其中，M_n为第n个区间x_u的平均值，X_t,n为第n个区间的累计离差。令：

R=max(X_t,n) min(X_t,n)　　(2)

若以S表示x_u序列的标准差，则可定义重标极差R/S，它随时间而增加。Hurst通过长时间的实践总结，建立了如下关系：

R/S=K(n)^H　　(3)

对

（3）式相边取对数，得到

（4）式：

log(R/S)_n=Hlog(n)+log(K)　　(4)

因此，对log(n)和log(R/S)_n进行最小二乘法回归就可以估计出H的值。

在对周期循环长度进行估计时，可用V_n统计量，它最初是Hurst用来检验稳定性，后来用来估计周期的长度。

(5)

计算H值和V_n的目的是为了分析时间序列的统计特性。Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。当H=0.5时，时间序列就是标准的随机游走，收益率呈正态分布，可以认为现在的价格信息对未来不会产生影响，即市场是有效的。当0.5≤H<1时，存在状态持续性，时间序列是一个持久性的或趋势增强的序列，收益率遵循一个有偏的随机过程，偏倚的程序有赖于H比0.5大多少，在这种状态下，如果序列前一期是向上走的，下一期也多半是向上走的。当0

对于独立随机过程的时间序列来说，V_n关于log(n)的曲线是一条直线。如果序列具有状态持续性，即当H>0.5时，V_n关log(n)是向上倾斜的；如果序列具有逆状态持续性，即当H<0.5时，V_n关于log(n)是向下倾斜的。当V_n图形形状改变时，就产生了突变，长期记忆消失。因此，用V_n关于log(n)的关系曲线就可以直观地看出一个时间序列某一时刻的值

对以后值的影响时间的界限。

为了测算序列对随机游走的偏离，Peters还引入了E(R/S)_n统计量，它的计算公式为：

(6)

对于一个时间序列，当H≠0.5时，对应于方差比分析中VR(q)≠1时的情况，收益率不再呈正态分布，时间序列各个观测值之间不是互相独立的，后面的观测值都带着在它之前的观测值的“记忆”，这就是我们所说的长期记忆性，从理论上来说它是存在的。随时间延长，前面观测值对后面观测值影响越来越少。因此，时间序列是一长串相互联系的事件叠加起来的结果。为了描述现在对未来的影响，Mandelbrot引进了一个相关性度量的指标C_M，它表示的意思和H是对应的。

C_M=2^{(2H 1)} 1　　(7)

其中C_M表示在期间M上的相关性。所以，当H=0.5时，序列不相关；当C>0时，序列正相关；当C<0时，序列负相关。